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相対性理論を一から始めようとしたとき時間と空間の考え方を把握する必要に迫られました。
そこでまずは、現在の時間と空間(距離)の定義、を確認しておきます。

現在の時間と距離の定義

1967年の第13回国際度量衡総会において現在用いられている国際単位系(SI)の秒の定義「セシウム133の原子の基底状態の2つの超微細準位の間の遷移に対応する放射の周期の 9192631770 倍に等しい時間」が決定された。

不確実性の低減を目指し、1983年の第17回CGPMでメートルの定義はさらに変更され、現在用いられている「光速」と「秒」で表す方法になった。この定義は、真空中の光速を有効数字9桁という高い精度となる 299792458 m/s と固定して得たものである。


準備が整ったところで、空間、について考えます。

今60km/hで走る1台の車があります。この速度は路面に対する速度です。
その車に並走する車があります。このとき2台の速度はともに60km/hです。
なぜなら2台とも同じ路面に対する速度を測っているからです。


ここで、この2台の車を北海道と鹿児島に移動します。
そこでもそれぞれが60km/hで走っているとします。

このとき2台の車は同じ路面を走っていません。
しかし、同じ路面を60km/hで走行したときの速さは同じでしたから、
2台の車はそれぞれが同じ単位の速度で走行している、ことになります。

同時にその速度は路面に対する速度ですから、
北海道と鹿児島の路面は同じ路面と考えてもいいことになります。


ここで2台の車は同じ単位の速度を持っていることから、
2台の車それぞれに対して、同じ単位の時間と距離の固有空間を与える、ことができます。

また2台の速度の基準となる路面は同じ路面と考えてもいいのですから、
一定時間に対して、路面は車と同じ単位の距離を持っている、ことになります。

さらに2台の速度が同じことから、
車と同じ単位の距離に対して、路面は車と同じ単位の時間を持っている、ことになります。

よって路面もまた、車と同じ単位の時間と距離の固有空間を持っている、ことになります。
そして2台の車の固有空間に対して路面となるような空間のことを”系”と呼ぶことにします。


ここまでの結果を車からすべての対象に拡大すると、
自分を含め全ての対象は同じ単位の時間と距離の固有空間を持ち
それらは同じ単位の時間と距離の固有空間の”系”に属していることになります。



直交座標の種類

このままでは固有空間内と”系”空間内の方向と位置がわからないので、前後・右左・上下、を表す軸を置きます。
これを、3次元空間、と呼び、この軸で表される空間を、直交座標、と言います。
右手系空間
数学・物理では特に断りがなければ、右手系空間、と言われる3次元空間で考えます。
右手系

直交座標の基本となる上図の座標を、直角座標、もしくは、デカルト座標、と言います。
デカルト座標は、立方体を含む直方体の空間を表すことができます。

ですから、自分を含めすべての対象はデカルト座標空間と時間を持っている、と考えることができ、
”系”もまた、デカルト座標空間と時間を持っていることになります。
そして、それら直交座標の軸の単位もまたすべて同じ単位となります。



球面座標

私たちは普段地球の表面を平面と考えデカルト座標の固有空間を使っています。
これは地球の表面を細分化していくと接平面(円の接線を平面化したもの)とみなせるためです。

また、地球の円周は約4万kmあるので数キロ四方なら平面に見え、その数キロ先に行ってもそこはやはり数キロ四方の平面です。このように数キロ程度の接平面を連続延長させたデカルト座標”系”を使って普段の私たちは距離を考えています。
*例えば北海道から鹿児島までドライブしようと考えたとき同一平面での最短距離を考えます。


しかし、太平洋上を航海中の大型タンカーの固有空間にデカルト座標を使っても、大海原に対してはデカルト座標”系”を使えません。地球が明らかに球面の一部だと感じるくらい大きな距離を扱うためです。

このような時は大海原の座標”系”を変える必要があります。
そういう時に使える座標が、球面座標、です。
Wikiの説明を見るとわかるように、円座標・円柱座標・球面座標は極座標と呼ばれています。


ここで難しく考えないことです。
極座標(円座標・円柱座標・球面座標)もまた、X・Y・Z軸を持つ直交座標です。

つまり、デカルト座標と極座標は同じ軸を持つ直交座標ですから相互変換ができることになります。
*数学が苦手な私はこの辺りの説明を上記リンク先Wikiに丸投げします。....使う時が来たら考えます。



ユークリッド空間と非ユークリッド空間

デカルト座標も極座標も直交座標なのでユークリッド空間です。
Wikiから抜粋してみると、
ユークリッド平面を考える一つの方法は、(距離や角度といったような言葉で表される)ある種の関係を満足する点集合と見なすことである。
例えば、平面上には二種類の基本操作が存在する。
一つは平行移動で、これは平面上の各点が同じ方向へ同じ距離だけ動くという平面のずらし操作である。
いま一つは平面上の決まった点に関する回転で、これは平面上の各点が決められた点のまわりに一貫して同じ角度だけ曲がるという操作である。
平易な言葉で表現するならば、「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。

この説明を素直に受け取るならば、
大型タンカーを地球上の座標で移動させるときはユークリッド幾何で考えればいいのですが、
大海原の上を動かす場合は、曲率を考慮した非ユークリッド空間として扱う必要があるということです。

ですから厳密に言えば、
北海道から鹿児島へ車で移動する場合には非ユークリッド幾何を使って考える必要があるということです。



曲率

非ユークリッド幾何学、つまり曲面を扱う時に必要になるのが曲率です。

曲率=0で平面、曲率は球の外側から見たときと内側から見たときで正負が異なる、
程度の知識しかないので以下のリンク先に丸投げします。
*これも必要になれば考えます。

曲率と曲率半径 - ベクトル解析 - 基礎からの数学入門

曲率は曲率半径の逆数です。曲線がゆっくり曲がっていれば半径が大きいので曲率は小さくなり、 曲線が急激に曲がっているところは半径が小さくなるので、曲率が大きくなります。
曲率 (=曲がる率) が大きいところが急激に曲がるわけですから、言葉も直感的でわかりやすいですね。
変曲点や直線になっているところでは、接触円の半径rが無限大になるので、曲率Kはゼロです。
ユークリッドの世界では、曲率Kはゼロです。
の曲率Kをゼロにまでしてしまうと、どうなるでしようか?
擬球は、もとの形のままで無限に大きくなっているのでしようか。
そうです。 そうでありながら、擬球の面は平面になっているのです。
そして、それがユークリッド平面です!
そして、対応する円板モデルの半径は無限大となり、ユークリッド平面になります。



4次元空間とは何か?

すでに書いてきたように、3次元空間に時間軸を割り当てたものです。
3次元空間には、直交座標(デカルト座標と極座標)を割り当ててもよかったですね。
3次元空間で使える座標は全部で11個もあるそうです。

ですから、すべてのものが4次元の固有空間を持ち、4次元空間の”系”に属していることになります。
つまり、今見えている世界(止まっているもの、動いているもの、すべて)が4次元空間そのものです。



車の速度は瞬時値です。

瞬時値とはその瞬間の値ですから、その瞬間の変化量になります。
変化量とは微分ですから連写機能で写真を撮ったときの、ある一枚と次の一枚の間に起こった変化量となります。

ただし、物理で扱う瞬時値では数学的なゼロに近づける必要はありません。

例えば、自動車がカーブを曲がるときにはハンドル操作も細かくなるので短い時間間隔での観測が必要ですが、
高速道路のように直線的に作られた道路では短い間隔で調べても意味がありません。

このように対象に合わせた時間間隔を使って数学的な瞬時値の計算をしています。
また同じような意味で、十分に大きい、とか、十分に小さい、などの言葉も添えることもあります。


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脚注:
このページでは空間に関連したよく見かける言葉も合わせて調べてみました。

余談:
日本の一般道路でも適正速度であればカーブの入り口でハンドルを一度切れば最後まで曲がれるように設計されています。
しかし、山道などでカーブ注意の標識があるところではもう一度ハンドルを切る必要があります。
街中の緩いカーブでもこの標識の意味を知っているとハンドルを切るタイミングを予想することができます。

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